Natüürelk taal

Tekst üüb Öömrang

$\N$

A natüürelk taalen san jodiaren, diar dü uftääl könst: 1(ian), 2(tau), 3(trii) an so widjer. Det gongt so widjer saner aanj, at jaft nian gratst taal. Enkelten tääl uk noch at 0(nul) tu a natüürelk taalen.

Betiaknang

At formeltiaken för a natüürelk taalen

$\N$

Diartu hiar a positiif hial taalen

$\N = \{1; 2; 3; \ldots\}$

Enkelten tääl diar uk at 0 noch tu, do san't aler hial taalen, diar ei negatiif san

$\N$₀$= \{0; 1; 2; 3; \ldots\}$

Peano-Aksioomen

A matematikers Gieuseppe Peano an Richard Dedekind haa a natüürelk taalen so definiaret:

1. 0 as en natüürelk taal.
2. Tu arke natüürelk taal $n$ jaft at genau ään efterfulger $n'$, an di as uk en natüürelk taal.
3. Nian natüürelk taal hää üs efterfulger det 0.
4. Arke natüürelk taal as efterfulger faan ei muar üs ian natüürelk taal.
5. Faan aler taalmengden $X$, huar

   - det taal 0 an

   - mä arke natüürelk taal $n$ uk imer di efterfulger $n'$

   uun föörkomt, as det mengde faan a natüürelk taalen det letjst.

Det leetst aksioom as det Induksjuunsaksioom, diar baut en bewismetoode uun a matematiik üüb ap. Uun a formelspriak het jo Peano-Aksioomen so:

1. $0 \in \N$
2. $\forall n: (n\in\N \Rightarrow \exists ! n'\in\N)$
3. $\forall n: \lnot (n' = 0)$
4. $\lnot \exist (m,n): m' = n', \lnot m = n$
5. $\N = \inf(X: 0\in X, (\forall n: n\in X \Rightarrow n'\in X))$

Tuuptäälen an moolnemen

A Peano-Aksioomen san a grünjlaag för't reegnin uun $\N$.

1. $n+ 0 := n\,$ Bispal: 17 + 0 = 17
2. $n+ m' := (n + m)'\,$ Bispal : 12 + (13 + 1) = (12 + 13) + 1 , det ment 12 + 14 = 25 + 1

an do

1. $n \cdot 0:= 0$ Bispal: 17 * 0 = 0
2. $n \cdot m':= (n \cdot m) + n$ Bispal 3 * (4 + 1) = 3 * 4 + 3, det ment 3 * 5 = 12 + 3

Sodenang brangt det induksjuunsaksioom det seekerhaid, dat bi't reegnin aleewen weder natüürelk taalen ütjkem.

Ferwis efter bütjen

Gieuseppe Peano

Taalen . . .

Natüürelk taalen $(\mathbb{N})$ | Hial taalen $(\mathbb{Z})$ | Ratsjunaal taalen $(\mathbb{Q})$ | Reel taalen $(\mathbb{R})$ | Kompleks taalen $(\mathbb{C})$